（2011•顺义区二模）已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB

解题思路：（1）在三棱锥P-ABC中，由M，D，分别为PB，AB的中点，知MD∥PA，由此能够证明PA∥平面CMD．
（2）因为M，D，分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA．因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，又SN⊂平面ABC，所以MD⊥SN．设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），M(1，0，

1

2

)，N(

1

2

，0，0)，S(1，

1

2

，0)，由向量法能够证明SN⊥平面CMD．
（3）

SN

＝(−

1

2

，−

1

2

，0)是面CMD的一个法向量，设面MCN的法向量

n

＝(x，y，z)，由

n

•

CM

＝0，

n

•

CN

＝0，得到

n

＝(−1，−

1

2

，1)，由此能求出二面角D-MC-N的大小．

（1）证明：在三棱锥P-ABC中，
因为M，D，分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA，
因为MD⊂平面CMD，PA⊄平面CMD，
所以PA∥平面CMD．
（2）证明：因为M，D，分别为PB，AB的中点，
所以MD∥PA，
因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，
又SN⊂平面ABC所以MD⊥SN．…（6分）
设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．如图所示，
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M(1，0，
1
2)，N(
1
2，0，0)，S(1，
1
2，0)，
所以

CM＝(1，−1，
1
2)，

SN＝(−
1
2，−
1
2，0)，
因为

CM•

SN＝−
1
2+
1
2+0＝0，
所以CM⊥SN．…（9分）
又CM∩MD=M，
所以SN⊥平面CMD．…（10分）
（3）由（2）知，

SN＝(−
1
2，−
1
2，0)是平面CMD的一个法向量，
设平面MCN的法向量

n＝(x，y，z)，则

n•

CM＝0，

n•

CN＝0，
即

(x，y，z)•(1，−1
1
2)＝0
(x，y，z)•(
1
2，−1，0)＝0，
所以

x＝−z
y＝−
1
2z，令z＝1，则x＝−1，y＝−
1
2，
所以

n＝(−1，−
1
2，1)，
从而cos〈

n，

SN＞＝


n•

SN
|

n||

SN|＝

2
2，
因为二面角D-MC-N为锐角．
所以二面角D-MC-N的大小为[π/4]．…..（14分）

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查PA∥平面CDM的证明，求证SN⊥平面CDM，求二面角D-MC-N的大小．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．