过椭圆2X^2+Y^2=2上的焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,求ΔAOB(O为原点）面积的最大值.

2X^2+Y^2=2
x^2+y^2/2=1
a^2=2,b^2=1,c^2=a^2-b^2=1,c=1
设焦点F(0,1)
直线L方程：y=kx+1
与x轴交点坐标:C（-1/k,0)
把y=kx+1代人：2X^2+Y^2=2得：
2x^2+(kx+1)^2=2
(2+k^2)x^2+2kx-1=0
x1+x2=-k/(2+k^2),x1x2=-1/(2+k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(5k^2+8)/(2+k^2)^2
(y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2=k^2(5k^2+8)/(2+k^2)^2
ΔAOB面积S
=|y1-y2|*|C点横坐标|*1/2
=√(5k^2+8)/2(2+k^2)
4S^2(2+k^2)^2=5k^2+8
4S^2k^4+(16S^2-5)k^2+16S^2-8=0
判别式△=(16S^2-5)^2-4*4S^2(16S^2-8)
=-32S^2+25
≥0
S≤5√2/8
ΔAOB(O为原点）面积的最大值=5√2/8