已知等比数列 的前 项和为 ，正数数列 的首项为 ，

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 存在， 。

熟练掌握并灵活运用等差等比数列的通项公式以及求和公式是解决此题的关键．
（Ⅰ）根据Sn求出a ₁ ，a ₂ ，a ₃ ，根据{a _n }为等比数列，确定出c的值．
（Ⅱ）根据b _n+1 =

b _n

1+2b _n
(n∈N*)，得到bn与bn+1的递推关系，根据特殊的数列求通项．
（Ⅲ）先求出Tn，假设满足T ₁ ，T _m ，T _n 成等比数列，得到n与m的关系式，再根据1＜m＜n，求出m，n的范围，根据m，n是正整数，求出m，n的值．
(Ⅰ) ， ， ………（3分）
因为 为等比数列所以 ，得 ………………………（4分）
经检验此时 为等比数列. ………………（5分）
(Ⅱ)∵ ∴
数列 为等差数列…………………………………………（7分）
又 ，所以
所以 …………（10分）
(Ⅲ) ……（12分）
假设存在正整数 ，且 ，使得 成等比数列
则 ，所以
由 得 且
即 ，所以
因为 为正整数，所以 ，此时