在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E.F.G分别是AB.BC.AA'的中点.求证：BD'垂直于平面EFG

[法一]取CC'的中点为H,由EF//GH,EFGH共面
取A'D'中点为I,C'D'中点为J,由GH//IJ,GHJI共面.
由EG//HJ,EFGHJI共面
该平面平行于三角形AD'C.
BB'垂直于ABCD,则AC垂直于BB'.又由AC垂直于BD,所以AC垂直于BB'D'D,BD'垂直于AC.
同理BD'垂直于D'C,则BD'垂直于三角形AD'C所在平面
所以BD'垂直于EFGHJI
[法二]
取CC'的中点为H,由EF//GH,EFGH共面
取A'D'中点为I,C'D'中点为J,由GH//IJ,GHJI共面.
由EG//HJ,EFGHJI共面
BB'垂直于ABCD,则AC垂直于BB'.又由AC垂直于BD,所以AC垂直于BB'D'D,BD'垂直于AC.
同理BD'垂直于D'C.
由AC//EF,AD'//GI,所以BD'垂直于EF和GI
所以BD'垂直于EFGHJI

用三垂线定理做很简单

图都没有