一道几何体在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是AB、BC的中点,EF交BD于N.问:棱BB1上是否

一道几何体
在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是AB、BC的中点,EF交BD于N.问:棱BB1上是否存在点M,使D1M⊥平面B1EF,并说明理由;若存在,试求A1N与D1M所成角.
惊颜坊 1年前 已收到1个回答 举报

冬水寒 幼苗

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用向量的方法解决这个问题最简单了:
第一问:以D为原点、向量DA为X轴正向、向量DC为Y轴正向、DD1为Z轴正向建立直角坐标系,原题中正方形棱长为a,我们在此为了方便令棱长为一个具体值(不会妨碍我们做题),不妨设为2,那么我们很容易可以依次得到各点的坐标表示:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(2,1,0),F(1,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),D1(0,0,2),N(1.5,1.5,0),且再设存在点M(2,2,z),那么我们可以方便的表示一些所需要的向量(后面用小括号加字母表示):(D1M)=(2,2,z-2),(EB1)=(0,1,2),(FB1)=(1,0,2),若D1M⊥平面B1EF,则有(D1M)点乘(EB1)=0,(D1M)点乘(FB1)=0,也即2*0+2*1+2*(z-2)=0,2*1+2*0+2*(z-2)=0,解得z=1,即M点存在且为(2,2,1).
第二问:假设A1N与D1M所成角为а,那么根据空间向量夹角公式我们有cos=cosа=[(A1N)*(D1M)]/[|(A1N)|*|(D1M)|]=(-0.5,1.5,-2)*(2,2,1)/[(根下6.5)*3]=4*(根下2)/[3*根下13],求出а即可.

1年前

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