已知函数f(x)=1/3x的3次方+ax的2次方+bx(a,b属于R)在x=1时取得极值.（1）用含a的代数式表示b(2

1、求导f'(x)＝x^2＋2ax＋b,f(x)在x=1处取得极值,则f'(1)=0,即1+2a+b=0,所以b=-1-2a.
2、f'(x)=x^2+2ax+b=x^2+2ax-1-2a＝(x-1)(x+1+2a),令f'(x)=0得x=1或=-1-2a.
当a=-1时,f'(x)＝(x-1)^2≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)内单调增加.
当a≠-1时,比较1与-1-2a的大小,若a＜-1,则1＜-1-2a,函数在(-∞,1),(-1-2a,+∞)内单调增加,在(1,-1-2a)内单调减少；若a＞-1,则1＞-1-2a,函数在(-∞,-1-2a),(1,+∞)内单调增加,在(-1-2a,1)内单调减少.

由于存在极值，故在定义域内，f不恒增也不恒减。也就是说 存在f ‘（x）=0的点：
f ' [x]=b + 2 a x + x^2=0有实数解
也因此判别式=4a^2-4b>=0,b<=a^2
求出f ’[x]=0的两根
两根之外，f ’[x]>=0， 单调增，两根之内，f ’[x]<0，f 单调减。

(1) 题是：1+2a+b=0，且a不等于﹣1。
(2) 题是：当a小于-1时，f(x)在（﹣∞，1）、（﹣2a-1，﹢∞）上单调递增，在[1，﹣2a－1]上单调递减；
当a大于-1时，f(x)在（﹣∞，﹣2a－1）、（1，﹢∞）上单调递增，在[﹣2a－1,1]上单调递减；
当a等于﹣1时，f(x)单调递增，所以f(x)不存在极值，与题不符。...