在三角形ABC中,点D分向量BC之比为1:2,点E分向量BA之比为2:1,设向量BC=向量a,向量BA=向量b

1)向量EP=t向量EC =t(向量BC-向量BE) =t(向量a-2/3向量b)
向量BP=向量BE-向量EP=2/3向量b+t向量a-2/3向量b
=t向量a+(2/3-2t/3)向量b
2)设向量BP=x向量BC+y向量BA =x向量a+y向量b
向量EP=向量BP+向量BE =x向量a+y向量b-2/3向量b
向量EC=向量BC-向量BE =向量a-2/3向量b
∵ECP三点共线 ∴x/1=(y-2/3)/(-2/3)
得 3y+2x=2 ①
向量AP=1/3向量a+(y-1)向量b
向量AD=1/3向量a-向量b
∵ADP三点共线 ∴x/(1/3)=(y-1)/(-1)
得y+3x=1 ②
联立①②,可解得x=1/7 y=4/7
∴向量BP=1/7向量a+4/7向量b
3)证明:由2)可得 向量EP=1/7向量a-2/21向量b
向量EC=向量a-2/3向量b
向量CP=-向量PC =-(向量EC-向量EP) =向量EP-向量EC
=4/7向量b-5/7向量a
向量CF=4/5向量CA =4/5(向量BA-向量BC)
=4/5(向量b-向量a)
∴向量PF=向量CF-向量CP
=8/35向量b+2/35向量a
向量BF=4/5向量b+1/5向量a
(8/35)/(4/5)=2/7 (2/35)/(1/5)=2/7
∴BFP三点共线.