在三角形ABC中,AB=3,AC=3,BC=2,内角平分线的交点为O,若向量AO=M 向量AB+N 向量BC,则M+N=

∵O为△ABC内角平分线的交点,设|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a,则有
a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=0,.(1)
又:向量OB=向量(OA-BA),向量OC=向量(OA-CA),向量AC=向量(AB+BC),
由(1)式得,
a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向量(OA-CA)=0,
a*向量OA+b*向量(OA-BA)+c*向量(OA+AB+BC)=0,
(a+b+c)*向量OA=-b*向量AB-c*向量(AB+BC),
向量OA=[-(b+c)*向量AB-c*向量BC]/(a+b+c).(2)
又:向量AO=M向量AB+N向量BC,.(3)
比较(2),(3)式的系数可得,
M=(b+c)/(a+b+c)=(3+3)/8=6/8; N=c/(a+b+c)=3/8
∴M+N=9/8

延长AO与BC交于点D，则D是BC的中点
由三角形的角平分线定理可求得：|AO|＝3|OD|
∴|AO|＝3/4|AD|
向量AO
＝3/4向量AD
＝3/4(向量AB＋向量BD)
＝3/4(向量AB＋1/2向量BC)
＝3/4向量AB＋3/8向量BC
∴M＋N＝3/4＋3/8＝9/8