设m、n∈R+,且m≠n,求证：(m-n)/(ln m-ln n) < (m+n)/2.

UK伴你一生 1年前 已收到2个回答 举报
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zzjbbs 花朵

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不妨设m>n,
不等式等价于：(ln m-ln n)/(m-n) >2/(m+n)
而y=lnx的图像为上凸函数,即两点间（图像上横坐标为m,n的点）连线的斜率一定大于其中点（图像上横坐标为m,n的中点的点）处切线的斜率,即为上面的不等式

1年前

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远古 幼苗

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[ln(x)]=1/x>0，[ln(x)]''=-1/x05<0 ，所以 ln(x) 在 (0,+∞) 上是严格单调增加的上凸的函数，所以 [m/(m+n)]*ln(n)+[n/(m+n)]*ln(m) ≤ ln{[m/(m+n)]*n+[n/(m+n)]*m} = ln[2mn/(m+n)] ≤ ln[(m+n)/2]，即 (m+n)/2 ≥ [(m^n)*(n^m)]^[1/(m+n)] 。

1年前

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