已知函数 （1）当 时，求函数 的单调区间;（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数

已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间;
（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间。设 ，试问函数 在 上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.
（1）当 时， 的单调增区间为 ；当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；（2）不存在保值区间.


试题分析：本题主要考查函数与导数以及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力，考查转化思想和分类讨论思想.第一问，先对 求导，令 ，可以看出 的单调区间是由0和1断开的，现在所求的范围是 ，所以将 从0断开，分 和 两部分进行讨论，分别判断 的正负来决定 的单调性；第二问，用反证法证明，先假设 存在保值区间 ，先求出 ，再求导，因为 ，所以可以求出最值 ，即方程 有两个大于1的相异实根，下面证明函数 有2个零点，通过2次求导，判断单调性和极值确定 只有一个零点，所以与有2个大于1的实根矛盾，所以假设不成立，所以不存在保值区间.
试题解析：（1）当 时， ，此时 的单调增区间为 ；
当 时， ，此时 的单调增区间为 ，减区间为 4分
（2）函数 在 上不存在保值区间。 5分
证明如下：
假设函数 存在保值区间[a,b]. ,
因 时，所以 为增函数，所以
即方程 有两个大于1的相异实根。 7分
设