（2014•汕头二模）已知数列{an}的前n项和Sn=(n+1)an2，且a1=1．

解题思路：（1）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．
（2）先利用（1）的结论求出数列{b_n}的通项，再求出b_kb_k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．

（1）当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝
(n+1)an
2−
nan−1
2，（2分）
即
an
n＝
an−1
n−1（n≥2）．（4分）
所以数列{
an
n}是首项为
a1
1＝1的常数列．（5分）
所以
an
n＝1，即a_n=n（n∈N^*）．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N^*）．（7分）
（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列，
则b_kb_k+2=b_k+1²．（8分）
因为b_n=lna_n=lnn（n≥2），
所以bkbk+2＝lnk•ln(k+2)＜[
lnk+ln(k+2)
2]2＝[
ln(k2+2k)
2]2
＜[
ln(k+1)2
2]2＝[ln(k+1)]2＝
b2k+1．（13分）
这与b_kb_k+2=b_k+1²矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．（14分）

点评：
本题考点： 等比关系的确定；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查了已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式，根据an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：an=Sn-Sn-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．