(2014•宜昌三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn,an,[1/2]成等差数列.

(2014•宜昌三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn,an,[1/2]成等差数列.
(1)证明数列{an}是等比数列;
(2)若bn=log2an+3,求数列{[1bnbn+1
diaodiao的2008 1年前 已收到1个回答 举报

xusz0483 幼苗

共回答了11个问题采纳率:90.9% 举报

解题思路:(1)由题意得2an=Sn+
1/2],易求a1
1
2
,当n≥2时,Sn=2an-[1/2],Sn-1=2an-1-[1/2],两式相减得an=2an-2an-1(n≥2),由递推式可得结论;
(2)由(1)可求ana12n−1=2n-2,从而可得bn,进而有[1
bnbn+1
=
1/n+1
1
n+2],利用裂项相消法可得Tn

(1)证明:由Sn,an
1/2]成等差数列,知2an=Sn+[1/2],
当n=1时,有2a1=a1+
1
2,∴a1=
1
2,
当n≥2时,Sn=2an-[1/2],Sn-1=2an-1-[1/2],
两式相减得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1
由于{an}为正项数列,∴an-1≠0,于是有
an
an−1=2(n≥2),
∴数列{an}从第二项起,每一项与它前一项之比都是同一个常数2,
∴数列{an}是以[1/2]为首项,以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an=a1•2n−1=[1/2×2n−1=2n-2
∴bn=log2an+3=log22n−2+3=n+1,

1
bnbn+1]=[1
(n+1)(n+2)=
1/n+1−
1
n+2],
∴Tn=([1/2−
1
3])+([1/3−
1
4])+…+([1/n+1−
1
n+2])=[1/2−
1
n+2]=[n
2(n+2).

点评:
本题考点: 数列的求和.

考点点评: 本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和,裂项相消法是高考考查的重点内容,应熟练掌握.

1年前

3
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.014 s. - webmaster@yulucn.com