已知函数f（x）=3x+13x．

解题思路：（1）求函数f（x）=3^x+

1

3x

的定义域为R，判断f（-x）=3^-x+

1

3−x

=

1

3x

+3^x=f（x）即可；
（2）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

（1）函数f（x）=3^x+
1
3x的定义域为R，
且f（-x）=3^-x+
1
3−x=
1
3x+3^x=f（x），
则函数f（x）为偶函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=3x1+
1
3x1-（3x2+
1
3x2）
=（3x1-3x2）（1-
1
3x13x2）
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜3x1＜3x2，
∴3x1-3x2＜0，1-
1
3x13x2＞0；
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的证明，奇偶性注意先求定义域，单调性证明一般有两种方法，定义法，导数法．属于基础题．

我靠，这么简单，根据定义翻翻书