将函数f(x)=arctan(2x)展开为幂级数,并求收敛域

lei-猎狗 1年前 已收到1个回答 举报
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kendii 幼苗

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(arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n(x)^(2n)
故arctanx=(-1)^n[x+x^3/3+...+x^(2n+1)/(2n+1)+...])=∑(-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)
故arctan(2x)=∑(-1)^n * (2x)^(2n+1)/(2n+1)
收敛域[-1/2,1/2]

1年前 追问

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lei-猎狗 举报

f(x)=arctan(2x) f'(x)=2/(1+x^2)=2Σ(0,+∞)(-x^2)^n=2Σ(0,+∞)(-1)^n * x^(2n) |x|<1 积分得：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1) 当x=1和-1时，为收敛的交错级数。 故：f(x)=2Σ(0,+∞)(-1)^n/(2n+1) * x^(2n+1) |x|《1 你们两个答案不一样。。
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