(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=(

(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=(aij)n×r满足rank(A)=r,求证：det(ATA)≠0
_她叫我nn_ 1年前 已收到1个回答 举报
赞

大冬枣 幼苗

共回答了12个问题采纳率：83.3% 举报

(1)考虑分块矩阵的行列式|H|=
A α
β^T -1
第2行减第1行的 β^TA,得
A α
0 -1-β^TA^-1α
所以 |H|= -(1+βTA^-1α)|A|.
另一方面,|H|第1行加第2行的α倍,得
A+αβ^T 0
β^T -1
所以 |H|=-|A+αβ^T|
所以 det(A+αβ^T)=(1+β^TA^-1α)det(A).
(2)
因为 r(A^TA)=r(A)=r
A^TA是r阶方阵
故 det(ATA)≠0.

1年前 追问

11

_她叫我nn_ 举报

你第一问写的有点失误不过我还是看懂了，第二问r(ATA)=r(A)=r是为什么？这个应该是证明的关键吧

举报 大冬枣

哪里失误请告诉我 r(ATA)=r(A) 是一个知识点, 证明AX=0 与 A^TAX 同解即可得.

_她叫我nn_ 举报

第2行减第1行的 β^TA, 得 应该是第2行减第1行的 βTA-1 ，得 第二问我也记起来这么个东西了，谢谢啦

举报 大冬枣

哦哦, 漏逆符号了
可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答

Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.035 s. - webmaster@yulucn.com