椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点ABCD,若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点ABCD,若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为
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zh_ong 幼苗

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由题设可得:
c=(ab)/[√(a²+b²)]
a²=b²+c²
c=ae
∴e²=(3-√5)/2
∴e=(-1+√5)/2

1年前 追问

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喔唷周导 举报

为什么c=(ab)/[√(a²+b²)]?

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其实直角三角形AOB中,A(a,0), B(0,b), O(0,0) 可设斜边AB上的高h. 易知,h=OC=c(半焦距). 且h=r. 即内切圆半径r,就等于三角形AOB斜边上的高h. 由题设,h也等于原点到焦点的距离。 由面积法可知,设三角形AOB的面积为S, S=(1/2)ab=(1/2)h×√(a²+b²) ∴h=ab/√(a²+b²)=c ∴c=(ab)/[√(a²+b²)]
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