已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则该双曲线的离心率等于______

解题思路：求出双曲线的渐近线方程，函数y=x³+2，求导函数，再设切点坐标，利用双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，建立方程组，即可求得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率．

双曲线的渐近线方程为y＝±
b
ax，函数y=x³+2，求导函数可得y=3x²，
设切点坐标为（m，n），则
∵双曲线
x2
a2−
y2
b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x³+2相切，
∴

n＝3m2
n＝
b
am
3m2＝
b
a，∴m=1，[b/a]=3，∴b=3a，
∴c²=a²+b²=10a²，∴c＝
10a
∴e=[c/a]=
10
故答案为：
10

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查直线与曲线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切是关键．

y=x³＋2
则：
y'=3x²
设切点是(m，m³＋2)
则切线方程是：
y=(3m²)(x－m)＋(m³＋2)
即：
y=3m²x－2m³＋2
这条切线就是双曲线的渐近线，则：
－2m³＋2=0
m=1
则：切线是：y=3x