如图19①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,

分析：（1）根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,
则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE,∠DBA=∠CAE,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠DBF=∠FAE,
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形
．
证明：（1）∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD=∠CAE
∠BDA=∠CEA
AB=AC
∴△ADB≌△CEA（AAS）,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中

∠ABD=∠CAE
∠BDA=∠CEA
AB=AC
∴△ADB≌△CEA（AAS）,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）由（2）知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
FB=FA
∠FBD=∠FAE
BD=AE
∴△DBF≌△EAF（sas）,
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形．

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