答好的加分已知函数f(x)满足f'(x)是一次函数,且x²f'(x)-(2x-1)f(x)=1,求f(x)的解

函数f(x)满足f'(x)是一次函数,设f '(x)= 2ax+b,则f(x) = ax^2 +bx +c,a、b、c为常数
由x^2 * f '(x)-(2x-1)f(x)=1得,
x^2 * (2ax+b) -(2x-1)( ax^2 +bx +c)
= 2ax^3+bx^2 - 2ax^3- 2bx^2-2cx + ax^2+bx+c
=(a-b)^x^2+(b-2c)x+c =1
则c=1,b-2c=0,a-b=0,则a=b=2c=2
即f(x)的解析式为f(x) = 2x^2 + 2x+1

因为f '(x)是一次函数
所以f(x)是二次函数
令f(x)=ax^2+bx+c
则f '(x)=2ax+b
则x²f '(x)-(2x-1)f(x)=1化为
x^2(2ax+b)-(2x-1)(ax^2+bx+c)=1
(a-b)x^2+(b-2c)x+c-1=0
于是得到方程组：
a-b=0
b-2c=0

因为f‘(x)是一次函数，所以设f(x)=ax²+bx+c，则f'(x)=2ax+b
首先令x=0，由已知x²f'(x)-(2x-1)f(x)=1,得f(0)=1,即c=1
再令x=1，即f'(1)-f(1)=1,解之a=2
再令x=-1,即f'(-1)+3f(-1)=1,解之b=2
所以f(x)=2x²+2x+1

x²f '(x)-(2x-1)f(x)=1，则
f '(x)-(2x-1)/x²f(x)=1/x²
f‘(x)为一次函数，设f'(x)=ax+b
则，f(x)=1/2ax^2+bx+c
带入
x^2(ax+b)-(2x-1)(1/2ax^2+bx+c)=1
则
(1/2a-b)x^2+(b-2c)x+c=1
则
1/2a-b=0
b-2c=0
c=1
则
c=1,b=2,a=4
F(X)=2x^2+2x+1