已知抛物线Y=x^2+2X和Y=-X^2+A 若有两条公切线,证明相应的两条栋且线段互相平分

设在抛物线C1上的切点为P(x1,x1^2＋2x1),在抛物线C2上的切点为Q(x2,－x2^2＋a)．
首先求C1上的切线,求导得y′=2x＋2,于是y′|x=x1＝2x1＋2．
　由点斜式直线方程得y－(x1^2＋2x1)=(2x1+2)(x-x1)．
　整理得y=(2x1＋2)x－x1^2…………①
再求C2上的切线,求导得y′=－2x,y′|x=x2＝－2X2．
　切线方程为y－(-X2^2+a)=－2X2(x－X2),
　整理得y=－2X2*x＋X2^2＋a…………②
由于所求切线是C1和C2的公切线,则①与②应为一条直线,即有
　　2x1+2=－2X2,
　　－X1^2=X2^2＋a．
　消去X2得2x1^2＋2X1＋1＋a＝0,
　消去X1得2X2^2＋2X2＋1＋a＝0．
因此X1,X2满足方程2x^2＋2x＋1＋a＝0………③
因为C1和C2有两条公切线时,所以方程③有两个不等实根．
　由Δ＝4-8(1+a)＞0得a＜－1/2．
　此时由韦达定理及方程③可得X1＋X2=－1
　于是PQ中点的横坐标为－1/2,即两条公切线的中点横坐标相同,于是两条公切线段互相平分．
-----另一法----
（1）函数y=x^2＋2x的导数y′=2x＋2,曲线C1在点P（x1,x1^2＋2x1）的切线方程是
y－(x1^2＋2x1)=(2x1＋2)(x－x1),
即y=(2x1＋2)x－x1^2．　　①
　函数y=－x2＋a的导数y′=－2x,曲线C2在点Q（x2,－x2^2＋a）的切线方程是
　　y－(－x2^2＋a)=－2x2(x－x2),
　　即y=－2X2x＋X2^2＋a．　　　②
　　如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程,所以有 x1+1= -x2与-x1^2=x2^2+a
　　　　消去x2得方程：2x1^2＋2x1＋1＋a=0．
　当判别式△=4－4×2（1＋a）=0时,即a=－1/2时,解得x1=－1/2,此时点P与Q重合．
　即当a=－1/2时,C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4．
（2）证明：由（1）可知,当a