已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，PD⊥底面ABCD，平面PBC⊥平面

方法一：
（1）证明：作DE⊥PB于E，
∵平面PBC⊥平面PBD，
∴DE⊥平面PBC，得DE⊥BC．
∵PD⊥BC，PD∩DE=D，
∴BC⊥平面PBD，得BC⊥BD．
∵AB=AD=1，AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA=45°，
BC=BD=
2，CD=2，
取CD中点F，连接AF，PF，
则AF∥BC，
∠PAF为PA与BC所成的角，
∴∠PAF=60°，
∵Rt△ADP≌Rt△FDP，
∴PA=PF，
∴△PAF为等边三角形，
∴PD=AD=DF=1．
∴CD=2PD=2．
（2）延长DA，CB交于G，连接PG，则PG是所求二面角的棱．
作DH⊥PG于H，连接CH，根据二垂线定理，CH⊥PG，
∴∠CHD是侧面PAD与侧面PBC所成二面角的平面角，
PD=1，GD=2，DH=
2

5，CD=2，tan∠CHD＝
5，
∴侧面PAD与侧面PBC所成锐二面角的大小为arctan
5；
方法二：
（1）建立空间直角坐标系如图，
设CD=a，PD=b，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，b）．
设BD中点为M（[1/2，
1
2]，0），
则AM⊥平面PBD，
所以

AM＝(−
1
2，
1
2，0)是平面PBD的一个法向量．


BC=（-1，a-1，0），

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查CD=2PD=2的证明和求侧面PAD与侧面PBC所成的锐二面角的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，把立体问题转化为平面问题．注意向量法的合理运用．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．

1年前

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