已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA=∠BAD=90°,AB=2,C

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,∠CDA=∠BAD=90°,AB=2,CD=1,AD=√2,M,N分别是PD,PB的中点.①求证MQ//平面PCD②求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小
单翼M2 1年前 已收到1个回答 举报

酷蟑螂 幼苗

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以A为原点,以AD,AB,AP分别为x,y,z建立空间直角坐标系O-xyz,
由AB=2,CD=1,AD=
2
,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,
可得:A(0,0,0),B(0,2,0),C(
2
,1,0),D(
2
,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(
2
2
,0,2),N(0,1,2),


BC
=(
2
,-1,0),

PB
=(0,2,-4),

MQ
=(-
2
2
,0,1)
设平面的PBC的法向量为

n0
=(x,y,z),
则有:
n0⊥BC⇒(x,y,z)•(2,-1,0)=0⇒2x-y=0n0⊥PB⇒(x,y,z)•(0,2,-4)=0⇒2y-4z=0
令z=1,则x=
2
,y=2⇒

n0
=(
2
,2,1),(3分)


MQ


n0
=(-
2
2
,0,1)•(
2
,2,1)=0,
又MQ⊄平面PCB,∴MQ∥平面PCB;
(2)设平面的MCN的法向量为

n
=(x,y,z),又

CM
=(-
2
2
,-1,2),

CN
=(-
2
,0,2)
则有:
n⊥CM⇒(x,y,z)•(-22,-1,2)=0⇒-22x-y+2z=0n⊥CN⇒(x,y,z)•(-2,0,2)=0⇒-2x+2z=0
令z=1,则x=
2
,y=1⇒

n
=(
2
,1,1),


AP
=(0,0,4)为平面ABCD的法向量,
∴cos〈

n
,

AP
>=
n•AP
|n|•|AP|
=
4
2×4
=
1
2
,又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角,
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为
π
3
,
(3)∵

CA
=(-
2
,-1,0),∴所求的距离d=
|n•CA|
|n|
=
|-2×2-1×1+1×0|
2
=
3
2 ;

1年前

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