（2012•许昌一模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB

解题思路：（Ⅰ）取AB中点E，先证明PE⊥面ABCD，可得PE⊥AC，证明AC⊥ED，可得AC⊥平面PED，从而PD⊥AC；（Ⅱ）在平面ABCD内，过点E作EG⊥AB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，确定平面MAC、平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角M-AC-D的余弦值．

（Ⅰ）证明：取AB中点E，连接PE，DE，AC，设AC∩DE=F
∵PA=PB，E是AB中点，∴PE⊥AB
∵面 PAB⊥面ABCD，面 PAB∩面ABCD=AB，
∴PE⊥面ABCD，∴PE⊥AC
在直角△ABC与直角△DAE中，[AB/AD＝
BC
AE]，∴△ABC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB
∴∠AED+∠BAC=90°，∴AC⊥ED
∵PE⊥AC，PE∩ED=E
∴AC⊥平面PED
∵PD⊂平面PED
∴PD⊥AC；
（Ⅱ）在平面ABCD内，过点E作EG⊥AB，以E为坐标原点，EB，EG，EP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则M（−
1
2，1，

3
2），A（-1，0，0），C（1，1，0），D（-1，2，0）
∴

AC＝(2，1，0)，

AM=(
1
2，1，

3
2)
设平面MAC的法向量为

m=（x，y，z），则由



m•

AC＝0


m•

AM＝0，可得

2x+y＝0

1
2x+y+

3
2z＝0，可取

m=（1，-2，
3）
又平面ACD的法向量为

n=（0，0，1）
∴二面角M-AC-D的余弦值为


m•

n
|

m||

n|=

3
2
2=

6
4．

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查面面垂直，考查线面垂直、面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确求平面的法向量是关键．