（2014•江西二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底
（2014•江西二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=[1/2]AD=1，CD=| 3 |
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C大小为30°，求QM的长．
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解题思路：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量
和
的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为
＝(0，0，1)，又可求得平面MBQ法向量为
＝(
，0，
)，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．
| AP |
| BM |
| n |
| m |
| 3 |
| 1−λ |
| λ |
（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=[1/2]AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ
又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则Q（0，0，0），A（1，0，0），P(0，0，
3)，B(0，
3，0)，C(−1，
3，0)
∵M是PC中点，∴M(−
1
2，
3
2，
3
2)，
∴
AP＝(−1，0，
3)，
点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
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