定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足

定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足
A、f(x)-f(x/2)=lnx
B、f(1)=0且函数连续
C、?
已知,从A、B、C中任取两个条件无法得出唯一确定的f(x),但A、B、C条件同时存在时f(x)唯一确定,求C条件
xinyun4425 1年前 已收到2个回答 举报
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liyizi 幼苗

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补上条件 C,f'(2x)=f'(x)
A条件中,用2x取代x后,
f(2x)-f(x)=ln2x
两边对x求导得到
2f'(2x)-f'(x)=1/x
这时,需要得到f'(2x)和f'(x)的一个关系,比如f'(2x)=f'(x)
带入后得到f'(x)=1/x
那么f(x)=lnx+C
根据f(1)=0
得到C=0
所以f(x)=lnx

1年前 追问

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xinyun4425 举报

而要解决h(x)的唯一性仅用初值是不够的，我觉得应该会需要各阶导数的单调性。因为h(lnx/ln2)在x从0到1的过程中变化剧烈，而周期函数有一个特点就是任意阶导数均为周期函数，故从0到1的过程中h(lnx/ln2)可能会有正负无穷大之间的剧烈震荡，而(lnx)^2/ln4+lnx/2则是一个较为简单的函数。

举报 liyizi

那个h(t)=gc(t)剧烈变化，没有问题，gp(t)也是剧烈变化的，所以就抵消了。
所以，没有必要弄出一个gc(t)来。那个g(t)-g(t-1)=t，就足以表示这个函数了。
但是，你仅仅用g(0)=0
无法得到任意的 g(t)啊，只能得到整点的g(t)。也只能得到2^n和(1/2)^n的函数值
f(2^n)和f((1/2)^n)
这能不能是个分段函数啊？？

xinyun4425 举报

gp(t)确实剧烈变化，但却没有震荡呀，而gc(t)却是低振幅的周期性剧烈震荡
分段函数当然可以，但即便是分段函数也可以分解成gp(t)与分段的周期函数h(t)不是么
最终目的是让h(t)成为常函数，所以规定g(t)是解析函数就可以解决分段的问题
有一个办法可以让h(t)成为常函数，就是h(t)=h(t+π)。但是这个条件太无聊了，和h(t)=h(t+1)关联太强

举报 liyizi

gp(t)也是震荡的，而且是振幅越来越大的震荡哦

xinyun4425 举报

呃怎么会，我画图像给你看

基本上还是单调的

越接近0震荡越剧烈

举报 liyizi

对不起啊，还没想起来。你得到结果了么？？

11911 花朵

共回答了22个问题采纳率：86.4% 举报

带入a=b=1和a=2,b=1，算出来要么f(x)=x（不符合f(x)有界的规定），要么f(1)=p-1.如果f(1)=p-1,那么根据f(a)=(p-1)f(a)-p，得出f(x)=p-1恒成立。其中p是p^2-4p+2=0的根。既然是常数自然就是减函数了。。。

1年前

0
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