设y=f(x)是定义在R上的函数,如果存在A点,对函数y=f(x)的图像上任意点P P关于点A的对称点Q也在函数y=f(
设y=f(x)是定义在R上的函数,如果存在A点,对函数y=f(x)的图像上任意点P P关于点A的对称点Q也在函数y=f(x)的图像上,则称函数y=f(x)关于点A对称,A称为函数f(x)的一个对称点,对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(a,b)是f(x)图像的一个对称点的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=2b,x属于R
1.求函数f(x)=x^3+3x^2图像的一个对称点
2.函数g(x)=ax^2+bx+c(a不等于0）的图像是否有对称点?若存在则求之,否则说明理由
1.求函数f(x)=x^3+3x^2图像的一个对称点
2.函数g(x)=ax^2+bx+c(a不等于0）的图像是否有对称点?若存在则求之,否则说明理由
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点A(a,b)是f(x)图像的一个对称点的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=2b,x属于R
则
（a-x）^3+3(x-a）^2+（a+x）^3+3(x+a）^2=2b
分解得
a^3-3a^2x+3ax^2-x^3+3x^2-6ax+3a^2+a^3+3a^2x+3ax^2+x^3+3x^2+6ax+3a^2=2b
则
2a^3+6ax^2+6x^2+6a^2=2b
比较得（6a+6）x^2+2a^3+6a^2=2b
a=-1,b=2时恒成立
所以图像的一个对称点 （-1,2）
利用f(a-x)+f(a+x)=2b
为了避免重复,设对称点坐标为（t,b）
(t-x)^2+b(t-x)+c+(t+x)^2+b(t+x)+c=2b
则2at^2+2ax^2+2bt+2c=2b
a不等于0
则可得无对称点
则
（a-x）^3+3(x-a）^2+（a+x）^3+3(x+a）^2=2b
分解得
a^3-3a^2x+3ax^2-x^3+3x^2-6ax+3a^2+a^3+3a^2x+3ax^2+x^3+3x^2+6ax+3a^2=2b
则
2a^3+6ax^2+6x^2+6a^2=2b
比较得（6a+6）x^2+2a^3+6a^2=2b
a=-1,b=2时恒成立
所以图像的一个对称点 （-1,2）
利用f(a-x)+f(a+x)=2b
为了避免重复,设对称点坐标为（t,b）
(t-x)^2+b(t-x)+c+(t+x)^2+b(t+x)+c=2b
则2at^2+2ax^2+2bt+2c=2b
a不等于0
则可得无对称点
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