（2007•广州模拟）设a＞0，函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．

（1）f′（x）=3x²-a
若f（x）在[1，+∞）上是单调递减函数，
则须y′≤0，即α≥3x²恒成立，
这样的实数a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是单调递减函数；
若f（x）在[1，+∞）]上是单调递增函数，则a≤3x²恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x²≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，则a的取值范围是0＜a≤3；
（2）（反证法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能为单调递增函数．
假设f（x₀）≠x₀，若1≤x₀＜f（x₀），则f（x₀）＜f（f（x₀））=x₀，矛盾； …（8分）
若1≤f（x₀）＜x₀，则f（f（x₀））＜f（x₀），即x₀＜f（x₀），矛盾，…（10分）
故只有f（x₀）=x₀成立．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质；反函数．

考点点评： 本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围，及符合函数的求值问题，注意反证法的应用．