过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（-3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为x245+
过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（-3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为
+
＝1．
+
＝1．．
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 36 |
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 36 |
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解题思路：由题设条件知，直线l与椭圆切于点P，根据椭圆定义，化为在l上求一点P，使|PF1|+|PF2|为最小，用对称点法求之．
设直线l上的占P（t，t+9），
取F1（-3，0）关于l的对称点Q（-9，6），
根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2| ＝
144+36＝6
5，
当且仅当Q，P，F2共线，即kPF2＝kQF2，
即[t+9/t−3＝
6
−12]时，
上述不等式取等号，∴t=-5．
∴P（-5，4），
据c=3，a=3
5，知a2=45，b2=36，
∴椭圆的方程为
x2
45+
y2
36＝1．
故答案为
x2
45+
y2
36＝1．
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．
1年前
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