空间几何平面垂直判定的问题如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB
空间几何平面垂直判定的问题
如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC
1.求证：平面PAC⊥平面ABC
2.求二面角D-AP-C的正弦值
3.若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积（求出加分!）
如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC
1.求证：平面PAC⊥平面ABC
2.求二面角D-AP-C的正弦值
3.若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积（求出加分!）
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1,∵D中点且PDB正三角形,
∴AD=DB=DC=PD=PB
∴ P在以AB为直径的圆上,AP⊥PB
又PA⊥PC,∴PA⊥面PCB,∴PA⊥CB
又CB⊥AC,∴BC面PAC,面ABC⊥面PAC
2,取AC、AP中点分别为O、N,连接ON,OD,ND
则ND⊥AC,OD⊥AP,ND∥BC
又BC⊥面APC知,ND∥面APC,∴角DON为所求二面角
ND=1/2BC=2,OD=1/2PB=1/2DB=1/4AB=5,
sin角DON=ND/OD=2/5,所求二面角为arcsin2/5
3.取CB中点Q,链接QM,QD,
则QM∥PC,QD∥AP,QD⊥CB
由AP⊥面PCB,得DM⊥面PCB,DM⊥QM,三角形DQM为直角三角形；
要求M-DBC的体积,等腰三角形DBC的面积易求,为8√6,
M到面DBC的距离其实就是直角三角形MDQ中M到斜边的距离,
RtΔAPB中,AP=10√3,DM=1/2AP=5√3,
RtΔABC中,AC=8√6,DQ=1/2AC=4√6
RtΔAPC中,PC,2√21,MQ=1/2PC=√21
RtΔDMQ中,M到DQ的距离d=MQ*DM/DQ=(5√21)/8
体积为1/3*(5√21)/8*8√6=5√14
终于打完了,虽然你可能看着会有点费劲,只能这样了
∴AD=DB=DC=PD=PB
∴ P在以AB为直径的圆上,AP⊥PB
又PA⊥PC,∴PA⊥面PCB,∴PA⊥CB
又CB⊥AC,∴BC面PAC,面ABC⊥面PAC
2,取AC、AP中点分别为O、N,连接ON,OD,ND
则ND⊥AC,OD⊥AP,ND∥BC
又BC⊥面APC知,ND∥面APC,∴角DON为所求二面角
ND=1/2BC=2,OD=1/2PB=1/2DB=1/4AB=5,
sin角DON=ND/OD=2/5,所求二面角为arcsin2/5
3.取CB中点Q,链接QM,QD,
则QM∥PC,QD∥AP,QD⊥CB
由AP⊥面PCB,得DM⊥面PCB,DM⊥QM,三角形DQM为直角三角形；
要求M-DBC的体积,等腰三角形DBC的面积易求,为8√6,
M到面DBC的距离其实就是直角三角形MDQ中M到斜边的距离,
RtΔAPB中,AP=10√3,DM=1/2AP=5√3,
RtΔABC中,AC=8√6,DQ=1/2AC=4√6
RtΔAPC中,PC,2√21,MQ=1/2PC=√21
RtΔDMQ中,M到DQ的距离d=MQ*DM/DQ=(5√21)/8
体积为1/3*(5√21)/8*8√6=5√14
终于打完了,虽然你可能看着会有点费劲,只能这样了
1年前
9
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