已知三棱锥P-ABC中,PA垂直于平面ABC,PB垂直于AC,PA=AC=1/2AB,N为AB上一点,AB=4AN,
已知三棱锥P-ABC中,PA垂直于平面ABC,PB垂直于AC,PA=AC=1/2AB,N为AB上一点,AB=4AN,
M,S分别为PB、BC中点,求证：1.CM垂直于SN
2.求SN与平面CMN所成角的大小
第一问已经证明出了,方法是作CO垂直于AB
M,S分别为PB、BC中点,求证：1.CM垂直于SN
2.求SN与平面CMN所成角的大小
第一问已经证明出了,方法是作CO垂直于AB
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不知道你的基础是什么,我就假设你学过解析几何了,看不懂的话再问我.
易见AP垂直于AB,于是我们可以以A为原点,AP（射线）为z轴,AB（射线）为x轴,AP（线段）为单位长度,建立空间直角坐标系.由题设,PA垂直于平面ABC,故C在x-y平面内,设C的坐标是（x,y,0）.P和B的坐标已经可以写出,分别为（0,0,1）和（2,0,0）,于是向量PB=（2,0,-1）.由AC垂直PB,AC与PB内积为零,即2x=0,从而x=0,故C在y轴上,又AC长度已知,从而C的坐标为（0,1,0）.然后每个点的坐标都可以写出：M（1,0,1/2）,N（1/2,0,0）,S
(1,1/2,0).
（1）CM=（1,-1,1/2）,SN=（1/2,1/2,0）从而CM和SN的内积为1*1/2+（-1）*1/2=0,故二者垂直.
（2）先计算平面CMN的法向量a：CN=（1/2,-1,0）CM叉乘CN得a=（1/2,1/4,-1/2.设所求角为r,则cos（r）=a与SN的内积/（SN的长度 * a的长度）=3/8 /（3*2^0.5/8）=2^0.5/2 故r=45°
易见AP垂直于AB,于是我们可以以A为原点,AP（射线）为z轴,AB（射线）为x轴,AP（线段）为单位长度,建立空间直角坐标系.由题设,PA垂直于平面ABC,故C在x-y平面内,设C的坐标是（x,y,0）.P和B的坐标已经可以写出,分别为（0,0,1）和（2,0,0）,于是向量PB=（2,0,-1）.由AC垂直PB,AC与PB内积为零,即2x=0,从而x=0,故C在y轴上,又AC长度已知,从而C的坐标为（0,1,0）.然后每个点的坐标都可以写出：M（1,0,1/2）,N（1/2,0,0）,S
(1,1/2,0).
（1）CM=（1,-1,1/2）,SN=（1/2,1/2,0）从而CM和SN的内积为1*1/2+（-1）*1/2=0,故二者垂直.
（2）先计算平面CMN的法向量a：CN=（1/2,-1,0）CM叉乘CN得a=（1/2,1/4,-1/2.设所求角为r,则cos（r）=a与SN的内积/（SN的长度 * a的长度）=3/8 /（3*2^0.5/8）=2^0.5/2 故r=45°
1年前
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1年前4个回答
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