已知函数F(x)=f(x+1/2)-1是R上的奇函数

已知函数F(x)=f(x+1/2)-1是R上的奇函数
an=f（0）+f（1/n）+…+f(n-1/n)+f(1).n为正整数,则an的通项公式

weirong2008 1年前已收到2个回答举报

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由已知得
F(x)+F(-x)=0
即f(x+1/2)-1+f(-x+1/2)-1=0
则f(x+1/2)+f(-x+1/2)=2
观察：(x+1/2)+(-x+1/2)=1恒成立
故an=f（0）+f（1/n）+…+f(n-1/n)+f(1)
再倒过来写,an=f（1）+f（n-1/n）+…+f(1/n)+f(0).
两式相加得
2an=[f(0)+f(1)]+……+[f(n-1)/n)+f(1/n)]=2+2+……+2=2(n+1)
故an=n+1

1年前

hswinter 幼苗

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F(x)=f(x+1/2)-1在R上为奇函数
故F(-x)=-F(x)，
代入得：f(0.5-x)+f(0.5+x)＝2 (x∈R)
x=0时，f(0.5)＝1
令t=0.5-x，则0.5+x=1-t,
上式即为：f(t)+f(1-t)＝2
当n为偶数时：
an=f(0)+f（1/n）+f(2/n)+…+f[(n-1)/n]+f(1)

1年前

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