已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中a∈R．

解题思路：（1）先设x∈（-∞，0）则-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函数是奇函数求出f（x），最后用分段函数表示出函数的解析式；（2）根据函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，求导，转化为导数小于等于零恒成立，利用分离参数，即可得a的取值范围；（3）求出

f(e)−f(1)

e−1

，和
f′（ξ），解方程即可求得ξ的值，从而证明结论．

（1）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又∵f（x）是定义定义在实数集R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），f（0）=0
∴函数f（x）的解析式为 f(x)＝

ax−ln(−x)，x＜0
0，x＝0
ax+lnx，x＞0；
（2）函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，
当x＞0时，f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+[1/x]，
由f′（x）=a+[1/x]≤0，得a≤−
1
x，
−
1
x在区间（1，+∞）上的取值范围为（-1，0），
所以a的取值范围为（-∞，-1]，
（3）
f(e)−f(1)
e−1=[ae+1−a/e−1]=a+[1/e−1]，
解f′（ξ）=a+[1/ξ]=a+[1/e−1]，得ξ=e-1，
因为1＜e-1＜e，所以ξ=e-1为所求．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；奇函数．

考点点评： 此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．