已知双曲线x2a2-y2b2=1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ．试证明

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ．试证明
（1）[1|OP|2
叁水ooo 1年前 已收到1个回答 举报
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alihaolei 幼苗

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解题思路：（1）设直线OP方程为y=kx（k≠0），将其与双曲线方程联解得到用k、a、b表示x2、y2的式子，从而得出|OP|2=x2+y2=
a2b2(1+k2)
b2−a2k2
．同理算出|OQ|2=
a2b2(1+k2)
k2b2−a2
，由此进行化简，即可得到[1|OP|2+
1
|OQ|2
=
1
a2
-
1
b2
成立；
（2）由b＞a＞0可得
1
a2
-
1
b2
为正数，利用基本不等式与（1）中证出的等式加以推理证明，可得当且仅当|OP|=|OQ|时，|OP|2+|OQ|2的最小值为
4a2b2
b2−a2
；
（3）根据OP⊥OQ利用三角形面积公式，可得S△OPQ=
1/2]|OP|•|OQ|，再由（1）中证出的等式结合基本不等式加以证明，可得当且仅当|OP|=|OQ|时S△OPQ的最小值是
a2b2
b2−a2
．

（1）设直线OP的方程为y=kx，（k≠0）
由

y＝kx

x2
a2−
y2
b2＝1消去y，得b2x2-a2k2x2=a2b2，
解之得x2=
a2b2
b2−a2k2，从而得出y2=k2x2=
a2b2k2
b2−a2k2，
∴|OP|2=x2+y2=
a2b2
b2−a2k2+
a2b2k2
b2−a2k2=
a2b2(1+k2)
b2−a2k2．
由直线OP与OQ垂直，设OQ的方程为y=-
1/k]x，用类似于求|OP|2的方法，
可得|OQ|2=
a2b2[1+(−
1
k)2]

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；三角形的面积公式．

考点点评： 本题给出由原点O出发的两条射线OP、OQ互相垂直，且与双曲线交于点P、Q，求|OP|2+|OQ|2的最小值并求△OPQ的面积S△OPQ的最小值．着重考查了三角形的面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．

1年前

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