已知双曲线x2a 2-y2b 2=1（b＞a＞0），0为坐标原点，离心率e=2，点M（5，3）在双曲

解题思路：（1）欲求双曲线的方程，只需找到含a，b，c的方程，因为双曲线的离心率e=2，且点M（

5

，

3

）在双曲线上，所以可以得到两个关于a，b，c的方程，再根据c²=a²+b²，就可解出a，b，c，求出双曲线的方程．
（2）因为

OP

•

OQ

=0，所以

OP

⊥

OQ

，设直线OP的方程为y=kx，则直线OP的方程为y=-[1/k]x，分别代入双曲线方程，即可得P，Q的坐标用含k的式子表示，再代入|OP|²+|OQ|²，化简，利用均值不等式求最值即可．

（1）∵离心率e=2∴[c/a]=2
∵点M（
5，
3）在双曲线上，∴

52
a 2-

32
b 2=1
又∵c²=a²+b²
∴双曲线的方程为
x2
4-
y2
12=1
（2）设P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直线OQ的方程为y=kx，∵

OP•

OQ=0∴OP⊥OQ，∴直线OP的方程为y=-[1/k]x
化简得x₁²=[12
3-k2，y₁²=
12k2
3-k2，x₂²=
12
3-(
1/-k)2]，y₂²=
12(&

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查了双曲线方程的求法，以及双曲线与不等式相结合求最值，做题时要认真分析，找到两者的联系．