（2012•哈尔滨）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M

（1）证明：证法一：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°，
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠PAQ=∠AMN，
∵PQ⊥AB MN⊥AC，
∴∠PQA=∠ANM=90°，
∴AQ=MN，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN=PQ AM=AP，
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM=ANM=90°
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠PAQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°=∠ANM
∵AQ=MN，
∴△PQA≌△ANM（ASA）
∴AP=AM，PQ=AN，
∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，
∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∵∠APM=∠BPC，
∴∠QPB=∠BPC
∵∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BPC（AAS）
∴PQ=PC，
∴PC=AN．

（2）解法一：
如图②，∵NP=2 PC=3，
∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8，
∴AM=AP=5
∴AQ=MN=
AM2−AN2=4
∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN=[MN/AN]=[4/3]
∵tan∠ABC=[AC/BC]，
∴BC=6
∵NE∥KC，
∴∠PEN=∠PKC，
又∵∠ENP=∠KCP
∴△PNE∽△PCK，
∴[NE/CK]=[NP/PC]，
∵CK：CF=2：3，
设CK=2k，则CF=3k
∴[NE/2k]=[2/3]，NE=[4/3]k．
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∴NE=TF=[4/3]k，
∴CT=CF-TF=3k-[4/3]k=[5/3]k
∵EF⊥PM，
∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，
∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，
∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC=[BC/PC]=2，
∴tan∠NTC=[NC/CT]=2，
∴CT=[5/3]k=[5/2]，
∴k=[3/2]，
∴CK=2×[3/2]=3，BK=BC-CK=3
∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，
∴∠BDK=∠PKC，
tan∠PKC=[PC/KC]=1，
∴tan∠BDK=1．
过K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=

点评：
本题考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

考点点评： 本题是几何综合题，综合考查了相似三角形、全等三角形、勾股定理、解直角三角形、角平分线性质、平行四边形、矩形等重要知识点．题干中给出的条件较多，图形复杂，难度较大，对考生能力要求较高；解题时，需要认真分析题意，以图形的相似、图形的全等为主线寻找解题思路．解答中提供了多种解题方法，可以开拓思路，希望同学们认真研究学习．