（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别
| （本小题满分12分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别为AB、PC的中点。 （1）求异面直线PA与BF所成角的正切值。 （2）  求证：EF⊥平面PCD。 |
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（1）如图，连结AC
过点F作FO⊥AC，
∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥AC，垂足为O，
连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。
∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分
在Rt△BOF中，OF
PA=1，
OB=
，则tanBFO=
………………6分
（2）连结OE、CE、PE。
∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB。
∵AB//CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE…………………………10分
∴又F为PC的中点，
∴EF⊥PC。
故EF⊥平面PCD。……………………12分
略
过点F作FO⊥AC，
∴面PAC⊥面ABCD
∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥AC，垂足为O，
连结BO，则FO⊥平面ABCD，且FO//PA。
∴∠BFO为异面直线PA与BF所成的角………………4分
在Rt△BOF中，OF
PA=1，OB=
，则tanBFO=
………………6分（2）连结OE、CE、PE。
∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB
又FO⊥平面ABCD，
∴EF⊥AB。
∵AB//CD
∴EF⊥CD
在Rt△PAE和Rt△CBE中，PA=CB，AE=BE，
∴Rt△PAE≌Rt△CBE，
∴PE=CE…………………………10分
∴又F为PC的中点，
∴EF⊥PC。故EF⊥平面PCD。……………………12分
略
1年前
8
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你能帮帮他们吗