1.已知F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+√3 *y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为?

1.
只需椭圆和直线相切即可,由c = 2 ,∴b^2 = a^2 - 4
设椭圆为：(a^2-4)·x^2 + a^2·y^2 = a^2·(a^2-4)
即：(a^2-4)·3x^2 + a^2·3y^2 = 3a^2·(a^2-4)
由直线方程：(√3y)^2 = 3y^2 = (x+4)^2
代入,得：(a^2-4)·3x^2 + a^2·(x+4)^2 = 3a^2·(a^2-4)
化简(a^2-4)·3x^2 + a^2·(x+4)^2 = 3a^2·(a^2-4):
4(a^2 -3)·x^2 + 8a^2·x + 28a^2 - 3a^4 = 0
∵相切,∴△ = 0
∴64a^4 = 16(a^2 -3)·(28a^2 - 3a^4)
∴4a^2 = (a^2 -3)·(28 - 3a^2)
= -3a^4 +37a^2 -84
∴3a^4 -33a^2 + 84 = 0
∴a^4 - 11a^2 + 28 = 0
∴a^2 = 4或7
∵a^2>c^2 = 4 ,∴a^2 = 7 ,∴a = √7
2.
判断二者位置关系：
把y^2 = x代入（x-3)2+y2=1得：x^2 - 5x + 8 = 0
∵△ < 0 ,∴二者无交点 ,且圆在抛物线内,设圆心为M(3,0)
画图易知,只有PQ所在直线经过圆心时,|PQ|才可取最小值
而MP = PQ + R = PQ + 1 ,故只需求MP最小值
很明显,以M为圆心的圆与抛物线相切时,切点即为所求的P
可设新圆为：(x-3)^2 + y^2 = r^2 ,联立y^2 = x
得到：x^2 - 5x + (9 - r^2) = 0
∵相切 ,∴△ = 0 ,∴25 = 36 - 4r^2
∴r = (√11)/2 ,负值舍
即MP最小值 = (√11)/2
∴|PQ|min =[(√11)/2] - 1