已知函数f（x）=lnx-ax在点A（2，f（2））处的切线l的斜率为[3/2]．

已知函数f（x）=lnx-ax在点A（2，f（2））处的切线l的斜率为[3/2]．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
（Ⅲ）设点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），当x2＞x1＞1时，直线PQ的斜率恒大于k，试求实数k的取值范围．
noway森林 1年前 已收到1个回答 举报
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频频是我 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出f′(x)＝
1
x
−a，f′（2）=[3/2]，由此能求出a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知l的方程为：y=[3/2]x+ln2-1，令g（x）=f（x）-[[3/2x+ln2−1]=lnx-
1
2]x-ln2+1，则g′(x)＝
1
x
−
1
2
=[2−x/2x]，由此求出当x=2时，g（x）取得最大值g（2）=0，从而能证明函数f（x）的图象恒在其切线l的下方（切点除外）．
（Ⅲ）由已知条件推导出f（x2）-f（x1）＞k（x2-x1），f（x2）-kx2＞f（x1）-kx1．令h（x）=f（x）-kx=lnx+x-kx，x＞0，从而得到h′(x)＝
1
x
+1−k≥0在（1，+∞）恒成立，由此能求出k的取值范围．

（Ⅰ）因为f（x）=lnx-ax，所以x＞0，f′(x)＝1x−a，又因为函数f（x）在点A（2．f（2））处的切线斜率为32，所以f′（2）=32，所以12−a＝32，解得a=-1．（Ⅱ）证明：因为f（x）=lnx+x，所以A（2，ln2+2），所以l的...

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查实数的求法，考查函数图象恒在直线下方的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．

1年前

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