已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为- 1 2 ．

（Ⅰ）由已知： f′(x)=
1
x -a （x＞0），
∵函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-
1
2 ．
∴ f′(2)=
1
2 -a=-
1
2 ，∴a=1．
∴ f′(x)=
1
x -1=
1-x
x ，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
∴f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）∀x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，
设h（x）=lnx-（k+1）x，有 h′(x)=
1-(k+1)x
x ．
①当k+1≤0，即k≤-1时，h′（x）＞0，此时h（1）=ln1-（k+1）≥0与h（x）≤0矛盾．
②当k+1＞0，即k＞-1时，令h′（x）=0，解得 x=
1
k+1 ，
∴ x∈(0，
1
k+1 ) ，h′（x）＞0，h（x）为增函数， x∈(
1
k+1 ，+∞) ，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
∴h（x） _max =h（
1
k+1 ）=ln
1
k+1 -1≤0，
即ln（k+1）≥-1，解得k≥
1
e -1 ．
综合k＞-1，知k≥
1
e -1 ．
∴综上所述，k的取值范围为[
1
e -1 ，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴f （x）≤f （1）=0，∴lnx≤x-1．
当n=1时，b ₁ =ln（1+1）=ln2，
当n≥2时，有ln（n+1）＜n，
∵b _n =
ln(n+1)
n 3 ＜
n
n 3 =
1
n 2 ＜
1
n(n-1) =
1
n-1 -
1
n ，
∴b ₁ +b ₂ +…+b _n ＜b ₁ +（
1
2-1 -
1
2 ）+…+（
1
n-1 -
1
n ）=ln2+（1-
1
n ）＜1+ln2．…（14分）