（2013•绵阳一模）已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-[1/2]．

解题思路：（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-[1/2]，可确定a的值，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）∀x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，构造函数h（x）=lnx-（k+1）x，利用h（x）_max≤0，即可求得k的取值范围；
（Ⅲ）先证明当n≥2时，有ln（n+1）＜n，再利用放缩法，裂项法，即可证得结论．

（Ⅰ）由已知：f′(x)＝
1
x−a（x＞0），
∵函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-[1/2]．
∴f′(2)＝
1
2−a＝−
1
2，∴a=1．
∴f′(x)＝
1
x−1＝
1−x
x，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
∴f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）∀x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，
设h（x）=lnx-（k+1）x，有h′(x)＝
1−(k+1)x
x．
①当k+1≤0，即k≤-1时，h′（x）＞0，此时h（1）=ln1-（k+1）≥0与h（x）≤0矛盾．
②当k+1＞0，即k＞-1时，令h′（x）=0，解得x＝
1
k+1，
∴x∈(0，
1
k+1)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，x∈(
1
k+1，+∞)，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
∴h（x）_max=h（[1/k+1]）=ln[1/k+1]-1≤0，
即ln（k+1）≥-1，解得k≥[1/e−1．
综合k＞-1，知k≥
1
e−1．
∴综上所述，k的取值范围为[
1
e−1，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴f （x）≤f （1）=0，∴lnx≤x-1．
当n=1时，b₁=ln（1+1）=ln2，
当n≥2时，有ln（n+1）＜n，
∵b_n=
ln(n+1)
n3]＜[n
n3=
1
n2＜
1
n(n−1)=
1/n−1−
1
n]，
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+（[1/2−1−
1
2]）+…+（[1/n−1−
1
n]）=ln2+（1-

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．