数列{an}中,a1=1/2,a(n+1)=an+1/(4n^2‐1),求an.(式中a(n+1)中n+1为右下角标,a

A(n+1)=An+1/(4n2-1)
A(n+1)-An=1/(4n2-1)=(1/(2n-1)-1/(2n+1))/2=(1/(2(n+1)-3)-1/(2(n+1)-1))/2
An-A(n-1)=(1/(2n-3)-1/(2n-1))/2
A2-A1=(1/(2n-1)-1/(2n+1))/2=(1/1-1/3)/2
A3-A2=(1/3-1/5)/2
...
An-A(n-1)=（1/(2n-3)-1/(2n-1))/2
左右两边相加：
An-A1=（1/1-1/（2n-1））/2=(n-1)/(2n-1)
那么An=(n-1)/(2n-1) +1/2
亦即An=(4n-3)/(4n-2)

首先，对于1/(4n^2‐1)，可以变形为[1/(2n-1) -1/(2n+1)]/2
其次，a(n+1)=an+1/(4n^2‐1)，可以变形为a(n+1)-an=[1/(2n-1) -1/(2n+1)]/2
而 a2-a1=[1-1/3]/2 -------------1式
a3-a2=[1/3-1/5]/2 ----------...