用数学归纳法证明：121•3+223•5+…+n2(2n−1)(2n+1)＝n(n+1)2(2n+1)(n∈N*)．

解题思路：本题考查的知识点是数学归纳法，根据数学归纳的步骤，我们要先论证n=1时，

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n−1)(2n+1)

＝

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)成立，再假设n=k时

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n−1)(2n+1)

＝

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)也成立，并由此证明n=k+1时，

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n−1)(2n+1)

＝

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)也成立，最后得到

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n−1)(2n+1)

＝

n(n+1)

2(2n+1)

(n∈N*)恒成立．

证明（1）n=1时，
左边
12
(2×1−1)(2×1+1)＝
1
3＝
1×(1+1)
2(2×1+1)=右边，等式成立
（2）假设n=k时等式成立，
即
12
1•3+
22
3•5++
k2
(2k−1)(2k+1)＝
k(k+1)
2(2k+1).
则n=k+1时，
左边=
k(k+1)
2(2k+1)+
(k+1)2
(2k+1)(2k+3)＝
k−1
2(2k+1)(k+
2k+2
2k+3)
=
k+1
2(2k+1)•
2k2+5k+2
2k+3＝
k+1
2(2k+1)•
(2k+1)(k+2)
2k+3＝
(k+1)(k+2)
2(2k+3).
∴n=k+1时，等式成立
由（1）（2）知，对一切n∈N*，
12
1•3+
22
3•5++
n2
(2n−1)(2n+1)＝
n(n+1)
2(2n+1).

点评：
本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．