初等数论设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1).

∵n是正整数.
∴n为奇数或偶数.
若n为奇数(则n除以3余0或1或2)
n+1为偶数
(1)n除以3余数为0.
则n是3的倍数.
3*2=6
(2)n除以3余1.
则(2n+1)除以3余0
因为1*1+1=3
则(2n+1)是3的倍数.
3*2=6
(3)n除以3余2.
则(n+1)除以3余0
因为2+1=3
3*2=6
若n为偶数(则n除以3余0或1或2)
(1)n除以3余0
2*3=6
(2)n除以3余1
则(2n+1)除以3余0
因为1*1+1=3
2*3=6
(3)n除以3余2
则(n+1)除以3余0
因为2+1=3
3*2=6
综上,n的6种情况中都有2和3.
而2*3=6
所以6| n(n + 1)(2n + 1)