minawa
幼苗
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设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
上顶点B(0,b),
设P(x,y)为椭圆上任意点那么
x²=a²(1-y²/b²)=a²-a²/b²*y²
|PB|²=x²+(y-b)²
=a²-a²/b²*y²+y²-2by+b²
=(1-a²/b²)y²-2by+a²+b²
=-c²/b²*y²-2by+a²+b²
=-c²/b²(y²+2b³/c²*y)+a²+b²
=-c²/b²(y+b³/c²)²+b⁴/c²+a²+b²
这是关于y的二次函数,对称轴为y=-b³/c²
∵ -b≤y≤b
∴-b³/c²≥-b,即b²/c²≤1时,
y=-b³/c²时,|PB|²取得最大值b⁴/c²+a²+b²=a⁴/c²
|PB|max=a²/c恰好等于椭圆中心到准线的距离
b²≤c²,c²=a²-b²≥a²-c²
==>2c²≥a² e²=c²/a²≥1/2
∵0
1年前
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