在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△A

解题思路：根据题意设出点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把点P的横坐标代入导函数求出的导函数值即为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．

根据题意设P的坐标为（t，-t³+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x²，故切线的斜率k=y′_|x=t=-3t²，
所以切线方程为：y-（-t³+1）=-3t²（x-t），
令x=0，解得：y=2t³+1；令y=0，解得：x=
2t3+1
3t2，
所以△AOB的面积S=[1/2]（2t³+1）•
2t3+1
3t2=[1/6](2t2+
1
t) 2，
设y=2t²+[1/t]=2t²+[1/2t]+[1/2t]≥3
32t2•
1
2t•
1
2t
，
当且仅当2t²=[1/2t]，即t³=[1/4]，即t=
3
1
4
取等号，
把t=
3
1
4
代入得：S_min=
3
32

4．
故答案为：
3
32

4

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．

导原函数可得其导函数为y'=-3x^2
设P点的坐标为(a,-a^3+1)
a>0
-a^3+1>0 得0那么P点的切线斜率为-3a^2
那么切线的方程为
y+a^3-1=-3a^2(x-a)
y=(-3a^2)x+2a^3+1
y=0时 x=(2a^3+1)/(3a^2)
x=0时 y=2a^3+1
xy=...

由题意可得其导函数为：y'=-3x²
∵P点在曲线的第一象限上 ∴设P点的坐标为(a,-a³+1)
∴a>0且-a³+1>0 解得：0∴切线的方程为：y+a³-1=-3a²(x-a) 即y=(-3a²)x+2a³+1
∴...

求抛物线与坐标交点及顶点