如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA1⊥BC，A1A2⊥AB，A2A3⊥BC，A3A4⊥AB，A4A5⊥BC

（1）设AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA₁=
bc
a
故：
AA1
AC=
c
a
同理可证明：
A1A2
AA1=
c
a
依此类推下去，我们可以得到：
AA1
AC=
A1A2
AA1=
A2A3
A1A2=…=
AnAn+1
An−1An=
c
a
则△CAA₁∽△A₁A₂A₃，△A₁A₂A₃∽△A₃A₄A₅，△A₃A₄A₅∽△A₅A₆A₇，…且相似比均为
c
a
根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，我们可得：
①△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周长成公比为
c
a的等比数列；
②△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面积成公比为(
c
a)2的等比数列．
（2）若AB=4，BC=5，则AC=3，则△ABC的周长为12，面积为6
此时，△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周长成公比为
4
5的等比数列；
则：△CAA₁的周长为
48
5，△A₁A₂A₃的周长为
192
25，△A₃A₄A₅的周长为
768
125，△A₅A₆A₇的周长为
3072
625
又∵△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面积成公比为
16
25的等比数列
则：△CAA₁的面积为
96
25
（3）AB=c，AC=b，则S₁=S_△CAA1=
1
2bc，公比q=
c

b2+c2
则：Sn=
1
2bc（
c

b2+c2）^n-1
当n=12时，S₁₂=S_△A11A12A13=
1
2bc（
c

b2+c2）¹¹

点评：
本题考点： 归纳推理；数列的应用．

考点点评： 本题主要考查的知识点是相似的性质及数列的应用，根据相似三角形中，对应线长度之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方，是解决本题的核心知识点．