两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排
两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，若an=145，则n=______．
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解题思路：根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，写出对应的n-1个等式，然后用累加的办法求出该数列的通项公式，然后代入项求项数．
a2-a1=5-1=4，a3-a2=12-5=7，a4-a3=22-12=10，…，由此可知数列{an+1-an}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以an+1-an=4+3（n-1）=3n+1．
a2-a1=3×1+1
a3-a2=3×2+1
…
an-an-1=3（n-1）+1
累加得：an-a1=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以an＝a1+3
n(n−1)
2+n−1=1+
3n(n−1)
2+n-1=
3n2−n
2．
由an＝
3n2−n
2＝145，解得：n＝−
29
3(舍)，或n＝10．
故答案为10．
点评：
本题考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．
考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，即从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，本题训练了一种求数列通项的重要方法--累加法．
1年前
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