（2013•镇江二模）已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x2|+lnx．

解题思路：（1）把a=2代入函数解析式，由绝对值内的代数式等于0求得x的值，由解得的x的值把定义域分段，去绝对值后求导，利用导函数求每一段内的函数的增区间，则a=2时的函数的增区间可求；
（2）把f（x）的解析式代入g(x)＝

f(x)

x

，利用a与1和e的大小比较去绝对值，然后求出去绝对值后的函数的导函数，利用函数的单调性求出函数在区间[1，e]上的最小值．最后把求得的函数的最小值写成分段函数的形式即可．

（1）由a=2，得f（x）=|2x-x²|+lnx（x＞0）．
当0＜x＜2时，f(x)＝2x−x2+lnx，f′(x)＝2−2x+
1
x＝
−2x2+2x+1
x．
由f′（x）=0，得-2x²+2x+1=0，解得x＝
1+
3
2，或x＝
1−
3
2（舍去）．
当0＜x＜
1+
3
2时，f′（x）＞0；
1+
3
2＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调增区间为（0，
1+
3
2），（2，+∞）．
当x＞2时，f(x)＝x2−2x+lnx，f′(x)＝2x−2+
1
x＝
2x2−2x+1
x．
由f′（x）=0，得2x²-2x+1=0．
f（x）在（2，+∞）上为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间为（0，
1+

点评：
本题考点： 变化的快慢与变化率；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，考查了去绝对值的方法，正确的分类是解决该题的关键，属难题．