（2013•镇江一模）已知a＞0，函数f（x）=ax3-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l

解题思路：（1）先由函数的解析式求出函数的定义域，要判断出其定义关于原点对称，进而由函数的解析式，判断出f（-x）=-f（x），最后由函数奇偶性的定义，得到结论；再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，利用导数的几何意义得出x₁=-x₂从而得到A，B关于原点对称．
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），利用斜率公式及导数的几何意义结合直线l₁，l₂都与AB垂直，得到方程3t²-4bt+b²+1=0有非负实根，利用根的判别式即可求出实数b的取值范围．

（1）∵f（-x）=a（-x）³-b（-x）=-（ax³-bx）=-f（x），…（2分）
∴f（x）为奇函数．…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，又f'（x）=3ax²-b，…（5分）
∵f（x）在两个相异点A，B处的切线分别为l₁，l₂，且l₁∥l₂，
∴k1＝f′(x1)＝3ax12−b＝k2＝f′(x2)＝3ax22−b(a＞0)，
∴x12＝x22，又x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，…（6分）　　
又∵f（x）为奇函数，
∴点A，B关于原点对称．…（7分）
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
∴kAB＝
y1
x1＝ax12−b，…（8分）
又f（x）在A处的切线的斜率k＝f′(x1)＝3ax12−b，
∵直线l₁，l₂都与AB垂直，
∴kAB•k＝−1，(ax12−b)•(3ax12−b)＝−1，…（9分）
令t＝ax12≥0，即方程3t²-4bt+b²+1=0有非负实根，…（10分）
∴△≥0⇒b²≥3，又t1t2＝
b2+1
3＞0，
∴[4b/3＞0⇒b＞0．
综上b≥
3]．…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力．