（2010•镇江一模）已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．

（1）当n+3m²=0时，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
则f′(x)=2x+m-
3m2
x=
2x2+mx-3m2
x=
(2x+3m)(x-m)
x．
令f′（x）=0，得x=-
3m
2（舍），x=m．（3分）
①当m＞1时，

∴当x=m时，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m=e
2
3．（5分）
②当0＜m≤1时，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．综上所述，所求m为m=e
2
3．（7分）
（2）∵对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，
f（x）在区间（a，b）上总是减函数，则对于x∈（1，3），
f′(x)=2x+m+
n
x=
2x2+mx+n
x＜0，
∴f′（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．（9分）
设g（x）=2x²+mx+n，∵x＞0，
∴g（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．
由g（x）二次项系数为正，得

g(1)≤0
g(3)≤0
即

m+n+2≤0
3m+n+18≤0亦即

m≤-n-2
m≤-
n
3-6.（12分）
∵（-n-2）-(-

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： （1）利用导数求函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，是难点；（2）题意的理解与转化是难点，在解答此题中用到了数形结合的数学思想．